一看楼主的题图，就替楼主感到冤屈，楼主遇到了一个文痞编写的垃圾讲义。
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【文痞气的证据有七个方面】：
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1、一本中文微积分，汉语的句号居然通通消失，变成了英文的 full stop。
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2、只要半秒钟就能切换的等于号，偏偏不切换，变成了上标。
关于这一点，下面的图解上有两处粉红色示例。
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3、明明可以使得学生一气呵成、登堂入室的直接根据导数定义证明，偏要
搞得跌宕起伏，楼主看不懂，本人也看不顺。虽然他葫芦里能卖什么药，
大家心知肚明，看他的解答过程，就是觉得憋屈，觉得恶心，觉得梗塞。
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4、对 f'(0)、f''(0) 没有任何交代，必须学生自己乱猜结果中要用到这两个
导数值。这种题对于思维严密的学生非常不利，微积分是严谨的数学分
析，逻辑严密的学生，会被这类痞子教师毁灭掉。
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5、根据导数定义的前半部分是 x 趋向于0；后半部分，用的是 Δx 趋向于0！
本题中 Δx = x - 0，Δx 趋向于0，其实就是 x 趋向于0。可是痞子教师，
痞性难改，忽悠成性，偏要虚张声势，搞得神经兮兮。
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6、既然是根据导数定义证明，半路又莫名其妙杀出一个罗毕达法则！
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7、用罗毕达法则的时候，居然脑袋错乱，在第四行的地方，也就是(Δx)²/1
的地方，搞错了总分母！(Δx)²/1 不是分母，1 才是总分母！(Δx)² 只是
分子上的分母，而不是分母上的分子！
结果，居然被痞子教师碰对了答案。
【这里就是楼主最看不懂的第二个等号到第三个等号之间的问题】
【实质是：讲义的编者，把繁分数的分子、分母搞得乱成一团了】
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不多评论了，请楼主细看下面的图片解答。
如有疑问，欢迎追问，有问必答，有疑必释；
答必细致，释必精致，图必极致，直至满意。
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若点击放大，图片将会更加清晰。
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【恳请】
恳请有推选认证《专业解答》权限的达人，
千万不要将本人对该题的解答认证为《专业解答》。
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一旦被认证为《专业解答》，所有网友都无法进行公开评论、批评、纠错。
本人非常需要倾听对我解答的各种反馈，即使是言语猛烈的批评也想倾听。
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请体谅，敬请切勿认证。谢谢体谅！谢谢理解！谢谢！谢谢！
第二个等号到第三个就是按照导数的定义来的
等我学会了就告诉你
如图，高数书上的题目。复合函数求导。答案写的不详细看不懂。~
不好意思，告诉你答案是在害您，为了您的学业成绩，我只能告诉您知识点
从整个学科上来看，高数实际上是围绕着极限、导数和积分这三种基本的运算展开的。对于每一种运算，我们首先要掌握它们主要的计算方法;熟练掌握计算方法后，再思考利用这种运算我们还可以解决哪些问题，比如会计算极限以后：那么我们就能解决函数的连续性，函数间断点的分类，导数的定义这些问题。这样一梳理，整个高数的逻辑体系就会比较清晰。
极限部分：
极限的计算方法很多，总结起来有十多种，这里我们只列出主要的：四则运算，等价无穷小替换，洛必达法则，重要极限，泰勒公式，中值定理，夹逼定理，单调有界收敛定理。每种方法具体的形式教材上都有详细的讲述，考生可以自己回顾一下，不太清晰的地方再翻到对应的章节看一看。
会计算极限之后，我们来说说直接通过极限定义的基本概念：
通过极限，我们定义了函数的连续性：函数在处连续的定义是，根据极限的定义，我们知道该定义又等价于。所以讨论函数的连续性就是计算极限。然后是间断点的分类，具体标准如下：
从中我们也可以看出，讨论函数间断点的分类，也仅需要计算左右极限。
再往后就是导数的定义了，函数在处可导的定义是极限存在，也可以写成极限存在。这里的极限式与前面相比要复杂一点，但本质上是一样的。最后还有可微的定义，函数在处可微的定义是存在只与有关而与 无关的常数使得时，有，其中。直接利用其定义，我们可以证明函数在一点可导和可微是等价的，它们都强于函数在该点连续。
以上就是极限这个体系下主要的知识点。
导数部分：
导数可以通过其定义计算，比如对分段函数在分段点上的导数。但更多的时候，我们是直接通过各种求导法则来计算的。主要的求导法则有下面这些：四则运算，复合函数求导法则，反函数求导法则，变上限积分求导。其中变上限积分求导公式本质上应该是积分学的内容，但出题的时候一般是和导数这一块的知识点一起出的，所以我们就把它归到求导法则里面了。能熟练运用这些基本的求导法则之后，我们还需要掌握几种特殊形式的函数导数的计算：隐函数求导，参数方程求导。我们对导数的要求是不能有不会算的导数。这一部分的题目往往不难，但计算量比较大，需要考生有较高的熟练度。
然后是导数的应用。导数主要有如下几个方面的应用：切线，单调性，极值，拐点。每一部分都有一系列相关的定理，考生自行回顾一下。这中间导数与单调性的关系是核心的考点，考试在考查这一块时主要有三种考法：①求单调区间或证明单调性;②证明不等式;③讨论方程根的个数。同时，导数与单调性的关系还是理解极值与拐点部分相关定理的基础。另外，数学三的考生还需要注意导数的经济学应用;数学一和数学二的考生还要掌握曲率的计算公式。
积分部分：
一元函数积分学首先可以分成不定积分和定积分，其中不定积分是计算定积分的基础。对于不定积分，我们主要掌握它的计算方法：第一类换元法，第二类换元法，分部积分法。这三种方法要融会贯通，掌握各种常见形式函数的积分方法。熟练掌握不定积分的计算技巧之后再来看一看定积分。定积分的定义考生需要稍微注意一下，考试对定积分的定义的要求其实就是两个方面：会用定积分的定义计算一些简单的极限;理解微元法(分割、近似、求和、取极限)。至于可积性的严格定义，考生没有必要掌握。然后是定积分这一块相关的定理和性质，这中间我们就提醒考生注意两个定理：积分中值定理和微积分基本定理。这两个定理的条件要记清楚，证明过程也要掌握，考试都直接或间接地考过。至于定积分的计算，我们主要的方法是利用牛顿—莱布尼兹公式借助不定积分进行计算，当然还可以利用一些定积分的特殊性质(如对称区间上的积分)。一般来说，只要不定积分的计算没问题，定积分的计算也就不成问题。定积分之后还有个广义积分，它实际上就是把积分过程和求极限的过程结合起来了。考试对这一部分的要求不太高，只要掌握常见的广义积分收敛性的判别，再会进行一些简单的计算就可以了。
会计算积分了，再来看一看定积分的应用。定积分的应用分为几何应用和物理应用。其中几何应用包括平面图形面积的计算，简单的几何体(主要是旋转体)体积的计算，曲线弧长的计算，旋转曲面面积的计算。物理应用主要是一些常见物理量的计算，包括功，压力，质心，引力，转动惯量等。其中数学一和数学二的考生需要全部掌握;数学三的考生只需掌握平面图形面积的计算，简单的几何体(主要是旋转体)体积的计算。这一部分题目的综合性往往比较强，对考生综合能力要求较高。
这就是高等数学整个学科从三种基本运算的角度梳理出来的主要知识点。除此之外，考生需要掌握的知识点还有多元函数微积分，它实际上是将一元函数中的极限，连续，可导，可微，积分等概念推广到了多元函数的情况，考生可以按照上面一样的思路来总结。另外还有两章：级数、微分方程。它们可以看做是对前面知识点综合的应用。比如微分方程，它实际上就是积分学的推广，解微分方程就是求积分。而级数则是对极限，导数和积分各种知识的综合应用。
#13266088072#
高数的可导与连续性问题 - ******
#莘典# 可导就是函数图像的该处的切线斜率存在,求出导函数,能够使倒数为零的点,然后检验是否两边的倒数符号是否异号 连续就是不间断 ,需要左右同时连续
#13266088072#
求教一道高数连续性 极限与可导关系的题目 - ******
#莘典# 左连续又右连续,所以f(x)在x=0处连续,这没有错,但是还不能说明函数可导,因为连续只是可导的必要条件.这里用导数的定义来判断是否可导:lim(x→0+) f(x)/x=lim(x→0+) (1-cos(x^2))/x^4=lim(x→0+) (1/2*x^4)/x^4=1/2lim(x→0-) f(x)/x=lim(x→0-) (g(x)(arcsinx)^2)/x=lim(x→0-) g(x)*x^2/x=0左右导数不相等,所以f(x)在x=0处不可导
#13266088072#
【高数基础求助】导函数连续是怎么定义的? - ******
#莘典# 求导函数 观察其连续性即可分段函数 求出那个分割点的左右导数
#13266088072#
求助!导数与连续问题~ ******
#莘典# 设右导数f'(x0)=lim(h→0+)[f(x0+h)-f(x0)]/h=a则[lim(h→0+)f(x0+h)-f(x0)]/lim(h→0+)h=a∵lim(h→0+)h=0∴lim(h→0+)f(x0+h)-f(x0)=0lim(h→0+)f(x0+h)=x0即f(x)在x0处右极限为f(x0)同理设左导数为f'(x0)=lim(h→0-)[f(x0+h)-f(x0)]/h=b则lim(h→0-)f(x0+h)-f(x0)=0f(x)在x0处左极限为f(x0)f(x)在x0出左右极限存在切相等,所以在x0处连续百度好心人给出的解~
#13266088072#
高数连续导数问题 - ******
#莘典# 极限值要存在,必须是左右极限都存在,且都等于极限值,现在极限值在极限处有定义,那只需证明左右极限存在且相等即可.
#13266088072#
一个函数可导,怎么证明它的导数连续 - ******
#莘典# 楼上二位的证明方法都有问题,以下才是严格的证明.证明:用反证法,设lim (x趋于a) f'(x) = L,就是要证 L = f'(a),那么我们先假设L > f'(a).如此一来,取L...
#13266088072#
求函数连续性,可导性 - ******
#莘典# 连续性:只要求当x趋近于0时的值与f(0)的值是否一致即可.limf(x)=lim(x^2*sin(1/x))=0 (这步是利用有界函数与无穷小的乘积为无穷小)而f(0)=0则函数在0处连续. 可导性:要证明可导则要知道在0处的左右导数是否相等,或者在该点处是否可导求导数可以用定义法f'(0)=lim((f(x)-f(0))/x)=lim((x^2*sin(1/x))/x)=lim(x*sin(1/x))=0 可知f(x)在x=0处有导数且导数存在.则在x=0处可导
#13266088072#
高数可导与连续 - ******
#莘典# 首先函数的极限与这一点是否有定义是没有关系的; 所以分清楚几个概念: 1、若函数连续,该点极限值等于该点函数值 2、若函数在该点不连续,那么极限值不等于函数值 3、若函数在该点无定义,那么只有该点极限值 所以,函数的极限和函数本身在这一点的性质没有关系(这点要牢记) 并且,若极限存在,最重要的一点是左右极限必须存在,而且相等 y=|x|/x;考虑左右极限,分别是-1和1(尽管0点没定义);因为左右极限都存在,但是不相等; 所以极限不存在,进一步考虑,0点是其第一类间断点
#13266088072#
求高手来解决高等数学函数连续性定义问题 - ******
#莘典# 就是说首先要在这个邻域内有定义.其次,f(x)-f(x0)当x趋近于x0的时候 ,结果是0你可以这么理解.比如f(x)=x x不等于0 5 x=0这个函数显然不连续,就是因为当x0=0时,f(x)-f(x0)不等于0.明白了么
#13266088072#
高数,研究可导性和连续性.想完整的步骤,不知道自己对不对,尤其是可导性用定义求.谢谢 - ******
#莘典# 一个函数在某点连续的定义是:左极限等于右极限等于此点的函数值本身.只要算出一个点的这三个值,看是否相同就好了. 一个函数在某点是否可导要看这个点的到导数值是否存在.当这个函数在这一点的附近有定义域,并且向这个点趋近的时候,导数值一直都在(无穷大就是不存在),那么在这一点就是可导的.一个函数如果在一个点可导,那么一定在这一点连续.
