根据数学物理方程的理论（谷超豪等，2002），控制方程、边界条件和初始条件构成地下水流的定解问题或数学模型。其中边界条件和初始条件被合称为控制方程的定解条件。如果水头不随时间变化，则初始条件是不必要的，这样的定解问题为稳定流数学模型；否则为非稳定流数学模型，定解条件中必须有初始条件。如果定解问题有解、且只有一个解、又是稳定的，则该定解问题是适定的，否则是不适定的。地下水流的数学模型必须满足适定性才能求解。
如果地下水流控制方程采用线性偏微分方程，如承压含水层水流方程（1.26），则这种方程满足二阶线性偏微分方程的叠加原理（见附录1）。设Hi是方程
地下水运动方程
的解，而Hj是方程
地下水运动方程
的解。令
地下水运动方程
其中ai，aj为常数。则H（x，y，t）必然是以下方程
地下水运动方程
的解。
特别的，如果H0是以下齐次方程
地下水运动方程
的解，则
地下水运动方程
也是方程（1.39）的解。
这种叠加原理意味着：如果源汇项可以分解为各项的线性组合，即
地下水运动方程
则水头的结果也可以表示为各个解的线性组合：
地下水运动方程
其中每个Hi（x，y，t）都满足形如式（1.36）的方程。
但是，当叠加原理用于定解问题时，定解条件也必须具有同样的可叠加性。如果定解条件和控制方程同时是非齐次的，使用叠加原理往往比较困难。
偏微分方程中，对于线性定解问题，为什么只有边界条件齐次时叠加原理才成立？~
其实对于线性定解问题的所有的情况，线性叠加条件都可以成立。只要将边值条件、初值条件和自由项都做线性分解即可。
对于由线性偏微分方程和线性定解条件组成的定解问题，可以运用叠加原理，它对于求解干扰井问题和边界附近的井流问题用处很大。因此，有必要先对它做一简单介绍。
叠加原理可表述为：如H1，H2，…Hn是关于水头H的线性偏微分方程的特解，C1，C2，…Cn为任意常数，则这些特解的线性组合：
地下水动力学（第二版）
仍是原方程的解。式（3—51）中的这些常数，要根据H所满足的边界条件来确定。如方程是非齐次的，并设H0为该非齐次方程的一个特解，H1和H2为相应的齐次方程的二个解，则
地下水动力学（第二版）
也是该非齐次方程的解。常数C1和C2由H所满足的边界条件确定。
下面举一简单例子，具体说明叠加原理的含义。设在河湾处的承压含水层中有抽水井P1和P2，分别以流量Q=A和Q=B抽水。渗流区D的边界r是由河流和渠道组成的第一类边界。边界Г1上有H=H（1），Г2上为H=H（2），如图3—12所示。在含水层为均质各向同性，地下水流为稳定流的条件下，水头H满足Laplace方程，并可表示为如下定解问题。
图3—12 渗流区边界条件和井流的分解平面图
在D内
边界条件为：H=H（1），在Γ1上；
H=H（2），在Г2上。
在P1点
在P2点
根据叠加原理，上述定解问题可分解为三个子问题：一是边界条件和原定解问题相同，但渗流区内没有井，即P1井和P2井的Q=0，此时的解为H1（x，y）（图3—12b）；二是在齐次边界条件下（即Г1和Г2上的H=0），P2井没有抽水，Q=0，P1井以Q=1抽水，这时的解为H2（x，y）（图3—12c）；三是在齐次边界条件下，P1井的Q=0，只有P2井以Q=1抽水，其解为H3（x，y）（图3—12d）。此时，三个特解的线性组合：
H（x，y）=H1（x，y）+AH2（x，y）+BH3（x，y）
即为原定解问题的解。为了证明这一点，可将上式分别代入偏微分方程和边界条件，有：
▽2H＝▽2（H1+AH2+BH3）＝▽2H1+A▽2H2+B▽2H3=0+0+0=0
在Γ1上 H=H1+AH2+BH3=H（1）＋0+0=H（1）
在Г2上 H=H1+AH2+BH3=H（2）＋0+0=H（2）
在P1点
在P2点
可见，H=H1+AH2+BH3既满足Laplace方程，又满足全部边界条件，故为原定解问题的解。
叠加解的物理意义表示在图3—13中。由图可见，首先求出不存在抽水井时，由边界条件单独影响形成的水头H1（x，y）；然后，在齐次边界条件下，即假设边界水头均为零（H=0），分别求出P1井流量为A和P2井流量为B时，单独抽水时产生的降深（负水头值分别为－s1（x，y）和－s2（x，y））。三者叠加H=H1-s1-s2，便得边界条件和抽水井共同作用下的水头值。
图3—13 剖面上解的叠加示意图
上述例子可推广到有多口抽水井或注水井的情况。对非稳定井流，也可作类似分析〔2〕，〔19〕，这里不再重复。
综合上例分析，不难得出下列结论：
（1）各个边界条件的作用彼此是独立的。一个边界条件的存在，并不影响其他边界条件存在时所得到的结果（对于初始条件也是如此）。不同类边界条件所造成的结果之间彼此也互不影响。因此，若干个不同类边界条件的综合结果等于各单个边界条件单独作用所得结果的叠加。
（2）各抽水井的作用也是独立的。在齐次定解条件下，承压井群产生的降深，等于各井单独产生降深的叠加。
（3）潜水含水层的微分方程是非线性的，不能应用叠加原理，但用线性化方法，把描述潜水运动的微分方程线性化后，仍可应用叠加原理。
#13069548447#
关于叠加原理和戴维南与诺顿定理的问题叠加原理:1 与Is串联的100欧姆电阻改成200欧姆后对测量结果有什么影响?2 如电源含有不可忽略的内电阻和内... - ******
#卓宗#[答案] 1.没有影响;只要是电流源是理想的.2.单独作为一个电阻拉到电源外面来.3.方法有:1.将电路中的所有电压源断开,必将线路短路,将所有电流源断路,之后便可以直接用万用表测量电阻.2.用电压表测ab两端的开路电压,然后用...
#13069548447#
11、分离变量法的主导思想就是将求解偏微分方程定解的问题转化为... ******
#卓宗#[答案] 这个时候就是电阻被短路了,电流为0.很常见啊,一般跟电压源并联的电阻,跟电流源串联的电阻,都可能出现这种情况.
#13069548447#
、应用叠加定理求解图所示电路中的电流I. - ******
#卓宗#[答案] 叠加时,电压源短路,电流源开路, 由基尔霍夫电压定律得:U=IR1+IR2 代入:5=I+2I,得出I=5/3 4、5年前学的,现在不是很记得,不过应该不会错
#13069548447#
什么情况下应用叠加原理求解比较好,而不是电源等效变化,戴维宁定理,诺顿定理,节点电压法? - ******
#卓宗# 诺顿定理与戴维南定理互为对偶的定理.定理指出,一个含有独立电源线性二端网络N(图1a), 就其外部状态而言,可以用一个独立电流源isc和一个松弛二端网络N0的并联组合来等效(图1b).其中,isc是网络N的短路电流,松弛网络N0是...
#13069548447#
用叠加定理求解i1和i2要详细过程! - ******
#卓宗# 一 计算单独电压源作用时的两电流,电流源开路 ,如下图1 得i1=-3/11 A; i2=3/11 A 二 计算单独电流源作用时的两电流,将电压源短路,如下图2 此图等效图为 由于在此图中求两电流的值比较困难,故将此图根据电压源电流源互换等效下图在此图中得到i2=14/11 A, 也就是说在上图中i2=14/11A再看上图 在E点:因为4A电流源,i2=14/11 A 所以i1=30/11 A;根据一,二得: 原题中 i1=(30-3)/11=27/11 Ai2=(3+14)/11=17/11 A
#13069548447#
求解三维齐次波动方程初值问题的方法是 - 上学吧普法考试 ******
#卓宗# 1、当电压源单独作用时,电流源开路,由于方框内是一个线性无源网络,因此此时的电流I'只是电压源激励产生的结果,也就是说根据叠加定理可以求出I';2、同样电流源单独作用时,电压源短路.由此得到的电流I就是电流源单独激励在该支路产生的电流I＂.3、根据叠加定理,则I=I'+I＂.这是针对电源都不变的情况得到的,但是一个电源单独作用,由于是线性无源网络,所以I'、I＂的结果都是和Us、Is成比例的,所以可以有:I'=k1Us,I＂=k2Is,因而:I=k1Us+k2Is.这就是这个公式的由来.
#13069548447#
用叠加定理求解 - ******
#卓宗# 解:1、9V电压源单独作用时,6A电流源开路. 显然:I2'=0.I1'=I3'=Us/(R1+R3)=9/(6+3)=1(A). 2、6A电流源单独作用时,9V电压源短路. 显然:I2＂=Is=6A.电阻R1和R3并联,总电流为Is=6A. 并联支路两端电压为:U=Is*(R1∥R3)=6*(6∥3)=12(V),下正上负. 所以:I1＂=U/R1=12/6=2(A). I3＂=-U/R3=-12/3=-4(A). 3、叠加:I1=I1'+I1＂=1+2=3(A). I2=I2'+I2＂=0+6=6(A). I3=I3'+I3＂=1-4=-3(A).
